Na mecânica clássica, a função de Lagrange, lagrangiana ^{(português brasileiro)} ou lagrangiano ^{(português europeu)} (${\displaystyle {\mathcal {L}}}$) de um sistema é uma função expressa em termos das coordenadas generalizadas ${\displaystyle q_{i}}$, da taxa de variação dessas coordenadas (velocidades generalizadas) ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ e do tempo t, e dada matematicamente pela diferença entre a energia cinética (${\displaystyle T}$) e a energia potencial generalizada (${\displaystyle U}$) do sistema:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)}=T-U}$.

Por padrão a energia potencial é função apenas das coordenadas generalizadas (sistemas conservativos) e/ou do tempo, contudo, a exemplo do que observa-se para o caso eletromagnético, quando na forma adequada, admite-se o uso de um potencial "generalizado", que é função também das velocidades generalizadas. O potencial eletromagnético generalizado permite a descrição de partículas elétricas imersas em campos eletromagnéticos via Mecânica de Lagrange, a exemplo. Forças dissipativas proporcionais às velocidades generalizadas também são admissíveis via potenciais dissipativos, a exemplo o potencial dissipativo de Rayleigh.

A lagrangiana é termo central na integral temporal que define o que se denomina em Física por ação. Diferente da Mecânica de Newton, junto com o princípio de Hamilton da ação em extremo, a lagrangiana e a Mecânica de Lagrange definem toda a dinâmica de um sistema sem recorrer a vetores e diagramas vetoriais, fazendo-o de forma a usar essencialmente funções escalares. Nesses termos a lagrangiana porta-se como uma equação fundamental do sistema a qual associa-se, encerrando em si todas as informações acerca do sistema. Pode-se pois, a partir dela e do formalismo atrelado à Mecânica de Lagrange, obter qualquer informação desejada acerca do sistema. A lagrangiana possui dimensões de energia, joules no S.I..

Associado à lagrangiana de um sistema, via Transformada de Legendre, tem-se o hamiltoniano ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ do sistema, essa uma função das coordenadas generalizadas ${\displaystyle q_{i}}$, dos momentos conjugados generalizados ${\displaystyle p_{i}}$ e do tempo t. O Hamiltoniano ${\displaystyle H_{(q_{i},p_{i},t)}}$, definido por H = T + U, também caracteriza uma equação fundamental, e juntamente com o formalismo da Mecânica de Hamilton, constitui formalismo alternativo plenamente equivalente ao de Lagrange no que tange à descrição da dinâmica do sistema. Tais formalismos encontram importante aplicação também dentro da relatividade.

Embora amplamente aplicada ao campo da dinâmica de energia e matéria, o cálculo variacional não limita o raciocínio à campos específicos da Física. Diversos problemas nas mais variadas áreas mostram-se suscetíveis ao tratamento similar.